指数及指数函数知识点及习题

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念

一般地，如果xa，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N．

*

n当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n次方根用符号na表示． 式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负

的n次方根用符号－na表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并成±na（a>0）．

由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n00．

结论：当n是奇数时，nana 当n是偶数时，nan|a|a(a0)a(a0)

 2．分数指数幂

mmannam(a0,m,nN*,n1)an1m1m,nN*,n1)

annam(a0,0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．有理指数幂的运算性质 （1）ar·arars

(a0,r,sQ)；

（2）(ar)sars

(a0,r,sQ)；

（3）(ab)raras (a0,b0,rQ)．

（一）指数函数的概念 一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：○

1 指数函数的定义是一个形式定义 ○

2 注意指数函数的底数的取值范围，底数为什么不能是负数、零和1． （二）指数函数的图象和性质 注意内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 指数函数的图象如右图：

4．指数函数的性质 图象特征 函数性质 a1 0a1 a1 0a1 向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数

1

函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+ 函数图象都过定点（0，1） a01 自左向右看， 自左向右看， 图象逐渐上升 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图在第一象限内的图象纵坐标都大于1 象纵坐标都小于1 x0,ax1 x0,ax1 在第二象限内的图在第二象限内的图象纵坐标都小于1 象纵坐标都大于1 x0,ax1 x0,ax1 图象上升趋势是越图象上升趋势是越函数值开始增长较函数值开始减小极来越陡 来越缓 慢，到了某一值后快，到了某一值后增长速度极快； 减小速度较慢； 利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，f(x)ax(a0且a1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]； （2）若x0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当xR； （3）对于指数函数f(x)ax(a0且a1)，总有f(1)a； （4）当a1时，若x1x2，则f(x1)f(x2)； 一、选择题：

112321211612181214121、化简12，结果是（ ） 1111112321A、

21232112132 B、 C、1232 D、2 4436a963a92、

等于（ ） A、a16 B、a8 C、a4 D、a2

3、若a1,b0,且abab22,则abab的值等于（ ）

A、6 B、2 C、2 D、2

4、函数f(x)a21x在R上是减函数，则a的取值范围是（ ）

A、

a1 B、

a2 C、a2 D、

1a2 f(x1)15、下列函数式中，满足2f(x)的是( )

A、

12(x1) B、x14 C、2x D、2x 6、已知0a1,b1,则函数

yaxb的图像必定不经过（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

7、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（na(1b%) B、a(1nb%) C、a[1(b%)n] D、a(1b%)n

A、

2

）

8、若

10x3,10y4，则10xy 。 9、函数y12x28x13(3≤x≤1)的值域是 。

10、函数y323x2的单调递减区间是 。

11、若

f(52x1)x2，则f(125) 。 12、设0a12x2，解关于x的不等式a3x2a2x22x3。

13、已知

x3,2，求f(x)14x12x1的最小值与最大值。 x22x5y114、已知函数

3，求其单调区间及值域。

15、若函数Y=4x

-3*2x

+3的值域为1,7，试确定x的取值范围。

指数函数·例题解析

【例1】求下列函数的定义域与值域：

1(1)y＝32x(2)y＝2x21(3)y＝33x1

解 (1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．

(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，∴值域是0≤y＜3．

【例2】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是

[ ]

A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C． b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b

解 选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c． 【例3】比较大小：

(1)2、32、54、88、916的大小关系是：．(3)4.54.1________3.73.6

(2)0.645(312)23

11234解(1)∵222，3223，5425，8828，91629，函数y＝2x，2＞1，该函数在(－∞，＋∞)上是增函数，又1＜3＜2＜4＜1，∴32＜85928＜54＜93816＜2．解 (2)∵0.645＞1，1＞(3122)，4 ∴0.65＞(312)2．解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6∴ 4.54.1＞3.73.6．

说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．

【例4】比较大小n1an与nan1(a＞0且a≠1，n＞1)．1∴an(n1)＜1，∴n1an＜nan1n1n1解an1)1nan1an(当a＞1时，∵n＞1，n(n1)＞0，

1当0＜a＜1，∵n＞1，1n(n1)＞0，∴an(n1)＞1，n1an＞nan1【例5】作出下列函数的图像：

(1)y＝(1x12)(2)y＝2x－2，(3)y＝2|x-1| (4)y＝|1－3x|

解 (1)y＝(12)x1的图像(如图2．6－4)，过点(0，12)及(－1，1)．是把函数y＝(1

2)x的图像向左平移1个单位得到的．解 (2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．

4

解 (3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．

解 (4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)

【例6】求函数y＝(3)x2－5x＋64的单调区间及值域．解 令u＝x2－5x＋6，则y＝(3

4)u是关于u的减函数，而u＝x2－5x＋6在x∈(∞，52]上是减函数，在x∈[52，∞)上是增函数．∴函数y＝(3

4)x2－5x＋6的单调增区间是(∞，552]，单调减区间是[2，∞)．又∵u＝x2－5x＋6＝(x5112)24≥4，函数y＝(34)u，在u∈[14，∞)上是减函数，

所以函数y＝(344)x2－5x＋6的值域是(0，1083]．

【例7】求函数y＝(1x1x4)(2)＋1(x≥0)的单调区间及它的最大值．解 y＝[(12)x]2(12)x1[(1x1231x2)2]4，令u＝(2)，∵x≥0，

∴0＜u≤1，又∵u＝(1)x是x∈[0，＋∞)上的减函数，函数y＝(u12)2234在u∈(0，12]上为减函数，在[12，1)上是增函数．但由0＜(12)x≤12得x≥1，由12≤(12)x≤1，得0≤x≤1，∴函数y＝(114)x(2)x＋1单调增

区间是[1，＋∞)，单调减区间[0，1]5

当x＝0时，函数y有最大值为1．

【例8】已知f(x)＝ax1ax1(a＞1)

(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；

(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数． 解 (1)定义域是R．

f(－x)＝ax1ax1ax1ax1＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数．

(2)函数y＝ax11yy1ax1，∵y≠1，∴有ax＝y11y＞0－1＜y＜1，

即f(x)的值域为(－1，1)．

(3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)

＝axl1alax212(axlax2)x1ax21＝(axl1)(ax21)，∵a＞1，x1＜x2，ax1＜ax2，(ax1＋1)(ax2＋1)＞0，∴f(x1)＜f(x2)，故f(x)在R上为增函数．1411.计算0.0643(72)0[(2)3]3160.750.012

2.计算322526743.

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